凯莉公式

以增长为本的投资策略
By 杨良河 林建  2011-03-03 信报财经新闻 

「凯莉公式」（ R=2p-1）是一个非常简单的数学公式，最初是用于「买一赔一」的赌博上。公式中的p 代表每个赌局的获胜机会，R 代表每局的投注比例。例如你有p=53%的嬴面，而你的资金有1000 元，由于R=6%，你便用6%的资金（60 元）下注。
假如你在每一赌局中，投注额都维持R 这个比例，你在长期参与赌局时，就可以得到最大的预期复合增长率（Expected Compound Growth Rate）。

财经市场的凯莉公式「R=m/s² 」

MIT 数学系的索普（Thorp）教授得悉了这个公式后，把它广泛地应用在多个与机会有关的赌博上。他组织了一个MIT 队伍，大规模地进军21 点赌局，把自己的经历写入Beat the Dealer 这本名着中。其后，又与一位年轻的电脑博士合作，参加有关球赛╱运动的博彩。
电脑博士提供胜算较高的博彩法，而索普则利用「凯莉公式」来操盘，调节每次的下注额。跟据索普于1997年在一次学术会议上发表的文章中透露，他们以5 万美元作为资本，参加了101 次的赌局，连本带利共得6.8 万美元，其复式增长率达到了凯莉公式以增长为本的要求。

其实把凯利公式应用在赌局上，在香港亦大有人在。照笔者的了解，本港就有职业赌马集团利用程式下注，而且每场下注的注码都是以凯莉公式作为指导。

如果「凯莉公式」的应用只是局限于赌博的话，这个公式肯定不会这样知名。在1996 年的文章，索普把这个以增长为本的方法应用到股票市场的投资，得到一个推广了的「凯莉公式」：R=m/s² 。

股市投资跟在赌场的博彩有一个基本上的不同，在赌大细时，你下注100元可以全输，回报率为-100%，或可以嬴得100 元，回报率为+100%。
但在股票市场投资的回报率就不同了，回报率可以是任何数目，借用统计学的语言，回报率有一个连续的分布。
在投资学里，投资者会有兴趣知道股票的额外回报率（股票回报率－无风险回报率）。实证的数据指出，很多时候，额外的复合回报率会服从于一个正态分布。
假设我们以m 及s 分别代表这回报率的期望值及标准差（StandardDeviation ），同时我们又假设这个期望是可以持续地实现很多次的话，那么要令得资金在一个长时间内有最大的增长率，投资于股票的金额与手头资金的比例应该保持在R=m/s² 这个水平。例如当m=3%，s=20%时，R=75%。换句话说，当你的资金为1 万元时，你可用7500 元投资于此股票。

读者或者会问，要决定在风险资产及无风险资产间的投资比例，我们不是应该采用Markowitz 的组合理论吗？在Markowitz 的组合理论里，我们可以计算出有效边界（Efficient Frontier），位于此边界的组合就能把夏普比率（Sharpe Ratio ）极大化，而夏普比率的定义是Sharpe-ratio=m/s，跟凯莉公式中的m/s² 有很大的分别。

另外一个问题是：假如一只股票的额外年回报为m=10%，而s=20% ，那么R=25 0%，如果你有100 万元现金投资，你应借150 万元并购买价值250 万元的股票！
换言之，这是一项非常高杠杆（Leverage）的投资。在Markowitz 的理论底下，这样高的杠杆比率是不可思议的。那么是Markowitz 理论出了问题，还是凯莉公式出了问题呢？

其实两者的分别是，单时段投资与多时段投资的分别，也是静态跟动态的分别。
以额外年回报率m=10%为例，Markowitz 理论看的是一年内的投资表现。凯莉公式的着眼点可以是1000 年后（因为公式把在一个长时期的增长率极大化），但在1000年后，谁又能保证这只股票的期望回报率仍然保持在10%的水平？1000年后股票市场还存在与否，也是个未知数呢！

但如果这样的话，那么推广了的凯莉公式R=m/s2又是否太纸上谈兵？可幸的是，我们不一定要看年回报率，也可以看日回报率。1000 年的确是太久，但1000 日便是一个比较短的时段。只要我们能确知这时段内每日回报率的m 及s，而且我们又能动态地在每天调整投资比例的话，那么凯莉公式就可以派上用场了。
不过，凯莉公式还是有改进的空间。譬如说，一个对冲基金的策略，在早期可以有较高的m 值，但随着时间的推移，新的竞争者会拖低他的m 值，所以m 值有被高估的可能。

未顾及短期回撤

另外，凯莉公式只着眼于长期的高增长，而未有顾及较短期的回撤（Drawdown ）。但基金的回撤是基金经理的大忌，如果杠杆太高，回撤可以很大。可以这样说，以增长为本的Kelly 投资法，可能会过于激进，因此常见的建议是利用「半凯莉公式」（half Kelly），亦即是用「凯莉公式」的比率的一半作投资。有时甚至用比halfKelly 还小的百分比，例如是Kelly 的1/3，一般称之为Fractional Kelly 投资法。

推广Kelly 有功的索普教授，后来凭着他精湛的数学技巧，成为了一个出色的对冲基金经理，据说已故影星保罗纽曼都曾是他名下基金的客户呢。


数学公式不可盲目运用 

信报财经新闻 By 杨良河 林建  2011-03-10 

凯莉公式最早的应用是在于赌局上。当赌徒有较高的赢面时，公式能算出每次赌局的投注额以获取最快的财富增长。我们可以用城中热话「临界点」来说明此公式的精髓。

投注额的临界点

凯莉公式指出投注额有一个临界点，当投注额小于临界点时，加大投注额有利于财富增长；但当投注额大于临界点时，加大注码反而令财富增长率下跌。后半个结论好像有点违反直观，但却是由数学得来的硬结果，也符合物极必反的哲理︰顺风时当然要使?，但有风也不应使尽?，慎防有覆舟之险。

如何令财富以最大速度去增长，当然也是金融市场投资者所追求的目标。上星期本栏就介绍了数学家索普怎样把这个公式，应用到股票市场的投资。另外一位很推祟这公式的对冲基金经理帕波莱（Pabrai）却另辟蹊径，把这个公式连系到经营生意上去。

帕波莱追随毕非德的投资理念，是毕非德的忠实信徒。他形容，毕非德好似「凯莉型的投资者」。为了当面向毕非德表示感谢，帕波莱在2007 年出价65 万美元在eBay 上竞投得与毕非德共进午餐的机会。

帕达家族的汽车旅馆王国

帕波莱在2007 年出版了名为《The DhandhoInvestor》（内地出版社译作「憨夺型投资者」），书中介绍了印度籍的帕达（Patel）家族在70 年代时移民美国，既没有资本，也没受过高深的教育，说着不太标准的英语，但却能在短短的35 年内拥有全美国一半以上的汽车旅馆（motels）。他们所持有的汽车旅馆资产超过400 亿美元，每年纳税7 亿多元，雇用了50 万人。如此高速的一个增长率，正好成为凯莉公式的一个最好的注脚。

帕达老爹于1973 年筹措了5000 美元，买入第一间价值5 万元的motel（银行给予90%的融资）。作者帕波莱认为，帕达老爹当年这项投资赢面极高。首先，帕达一家五口就住在旅馆里，省下一大笔租金，而且他们一家每天都投放大量时间去肩负旅馆的管理工作，省去一大笔雇员人工，同时也省掉自己上班的交通费。

帕波莱认为，Patel 这门生意就像一个买一赔三或四，而赢面也高的赌局，所以投资的银码（50000 元）等于资金（5000）的十倍也并不为过，并没有超出凯莉公式中的临界点。
另外，Patel 又把赚来的钱继续买入另一间汽车旅馆，就像赌徒重复赢面高的赌局一样，高赢面配上适当的投资额度，换来高速的增长。在短短35 年内，建就了一个汽车旅馆王国。

增长为本VS风险为本

虽然凯莉公式的应用可以横跨股市投资及生意经营，但奇怪的是，商学院里的教科书都很少介绍这一个公式。
主因可能是凯莉（Kelly）公式是一个增长为本的策略，它优化了资金的长期增长率，但没有考虑到投资的风险。
但Markowitz 的理论却是强调先控制住风险然后，才考虑资金的增长率，所以更受到投资界的推祟。如果说Markowitz 代表了武林的名门正派，那么Kelly 就是东邪黄药师了。

如果投资者或生意人有着赌徒的心理，不怕输掉自己手上所有资金的话，那么凯莉公式又是否合适呢？凯莉公式的成立，有赖于三个假设：（1）你有稳定的、可持续的赢面；（2）你可以随时调整投资金额占资金的百分比；（3）就算你只剩下一份钱，你还是可以玩下去。
这三个假设距离现实当然有一大段距离，所以我们使用凯莉投资法也要步步为营才是上策。
行文至此刚好看到身型瘦削的乔布斯（Steve Jobs）在电视里为iPad 2 现身，他说「单靠科技是不行的，科技要和博雅知识（liberal arts）、人文科学（hu manities）结合才更能发挥功效」。他这句话套在数学上也是正确的。数学不加上常识，不加上在现实应用时的实际考虑，就算是正确的数学公式，也会使我们迷途的。
作者杨良河博士为香港大学统计及精算学系副教授；林建教授为香港浸会大学终身教授，及国信证券（香港）资产管理有限公司顾问。
杨良河、林建